Fourier seriyası: tarixin və riyazi mexanizmin elmin inkişafına təsiri

Fourier seriyası bir sıra şəklində müəyyən bir dövr ilə özbaşına alınan funksiyanı təmsil edir. Ümumiyyətlə, bu həll ortogonal əsasda bir elementin genişləndirilməsi adlanır. Bir Fourier seriyasındakı funksiyaların genişlənməsi, inteqrasiya, fərqləndirmə, həmçinin ifadə və konvolusiya üçün ifadənin köçürülməsində dəyişikliyin xüsusiyyətlərinə görə müxtəlif problemlərin həlli üçün olduqca güclü bir vasitədir.

Yüksək riyaziyyat ilə tanış olmayan və fransız alimi Fourier əsərləri ilə tanış olan bir şəxs, ən çox ehtimal ki, hansı "sıralar" və nə üçün nə olduğunu başa düşməyəcəkdir. Halbuki bu çevrilmə həyatımızda olduqca sıx olmuşdur. Bu, yalnız riyaziyyatçılar tərəfindən deyil, fiziklər, kimyaçılar, həkimlər, astronomlar, seysmologlar, okeanoqraflar və s. Kəşfini vaxtından əvvəl etmiş olan böyük Fransız alimin əsərləri ilə tanış olaq.

Man və Fourier transformu

Fourier seriyası Fourier çevrilməsinin metodlarından (analizi və digərləri ilə birlikdə) biridir . Bu proses hər bir insanın səsi eşidəndə baş verir. Qulaq avtomatik olaraq səs dalğasını avtomatik rejimə çevirir . Elementar orta maddələrdəki elementar hissəciklərin vibrasiyalı hərəkəti müxtəlif hündürlüklərdə tonlarda səs səviyyəsinin ardıcıl dəyərlərinin seriyasına (spektrinə görə) ayrılır. Bundan əlavə, beyin bu məlumatları bizə tanış olan səslərə çevirir. Bütün bunlar bizim istək və ya şüurumuza əlavə olaraq baş verir, amma bu prosesləri anlamaq üçün bir neçə il üst riyaziyyat öyrənmək lazımdır.

Fourier transformu haqqında daha çox məlumat

Fourier transformu analitik, ədədi və digər üsullarla həyata keçirilə bilər. Fourier seriyası, okyanus dalğaları və günəş (və digər astronomik obyektlər) fəaliyyət dövrünə qədər olan hər hansı bir titreşimsel proseslərin parçalanma nümunəvi üsuluna istinad edir. Bu riyazi üsullardan istifadə edərək, minimumdan maksimuma və arxaya hərəkət edən sinusoidal komponentlərin bir sıra kimi istiliyə gedən prosesləri təmsil edən funksiyaları ayırd edə bilərsiniz. Fourier transformu müəyyən bir tezliyə uyğun sinusoidlərin mərhələsi və amplitüdünü təsvir edən bir funksiyadır. Bu proses istilik, işıq və ya elektrik enerjisi ilə baş verən dinamik prosesləri təsvir edən çox mürəkkəb tənliklərin həlli üçün istifadə edilə bilər. Fourier seriyası, kompleks komponentləri kompleks vibrasyonal siqnallarda izolyasiya etmək imkanını yaradır, bu da dərman, kimya və astronomiyada əldə edilmiş eksperimental müşahidələri düzgün şərh etməyə imkan verir.

Tarixi arxa plan

Bu nəzəriyyənin qurucu atası Fransız riyaziyyatçısı Jean Baptiste Joseph Fourierdir. Onun adı bu çevrilməyə çağırıldı. Əvvəlcə alim istilik keçiriciliyinin mexanizmlərini öyrənmək və izah etmək üçün metoddan istifadə etdi - qatıların istilik yayılması. Fourier, istilik dalğasının ilkin düzensiz dağılımının, hər birinin öz istiliyinin minimum və maksimuma, həmçinin faza malik olacağı sadə sinusoidlərə bölünməsini təklif etmişdir. Bu halda, hər bir komponent bu minimumdan maksimuma və əksinə ölçülür. Eğrinin yuxarı və aşağı zirvələrini və harmoniklərin hər birinin fazasını təsvir edən riyazi funksiyaya temperaturun paylanması üçün ifadənin Fourier transformu deyildi. Tədqiqatın müəllifi riyazi olaraq təsvir edilən çətin olan ümumi dağılım funksiyasını, ilk dağılımı verən cəmdə, idarə etmək üçün əlverişli olan bir sıra dövri kosinüs və sinüs funksiyalarını azaldıb.

Müasir dövrün transformasiyası və baxış prinsipi

XIX əsrin əvvəllərində alim - aparıcı riyaziyyatçıların müasirləri bu nəzəriyyəni qəbul etmədi. Əsas etiraz, düz xətt və ya yırtıcı bir əyri xarakterizə edən bir fasiləsiz funksiyanın davamlı olan sinusoidal ifadələrin bir hissəsi kimi göstərilə biləcəyi Fourier iddiasıdır. Bir nümunə olaraq, Heiside'in "addımı" ni nəzərdən keçirə bilərik: onun dəyəri təkmilliyin solundan, sağdan birinə sıfırdır. Bu funksiya dövrə bağlı olduqda elektrik cərəyanının zaman dəyişkənliyindən asılı olduğunu təsvir edir. Bu zaman nəzəriyyənin müasirləri heç bir oxşarlıqla üzləşməmişdilər ki, fasiləsiz bir ifadə bir eksponent, sinusoid, doğrusal və ya kvadratik kimi davamlı, adi funksiyaların birləşməsi ilə təsvir ediləcəkdir.

Fransız riyaziyyatçılarını Fourier nəzəriyyəsində nələrdən utandırdınız?

Bütün bunlardan ötəri, bir riyaziyyatçı öz ifadələrində doğru olduqda, sonsuz bir trigonometrik Fourier seriyasını cəmləşdirərkən, bir çox belə addımlar olsa da, addım ifadəinin doğru şəkildə təqdim edilə bilər. XIX əsrin əvvəllərində belə bir bəyanat absurd görünürdü. Ancaq bütün şübhələrə baxmayaraq, bir çox riyaziyyatçı bu hadisəni öyrənmə sahəsini genişləndirib, istilik keçiriciliyi üzrə araşdırma hüdudlarından kənara çıxardı. Ancaq ən çox elm adamları sual soruşmağa davam edirdi: "Sinusoid serialların cəmi fasiləsiz funksiyanın tam dəyərinə birləşə bilərmi?"

Fourier seriyasının yaxınlaşması: bir nümunə

Hər bir nöqtədə sonsuz ədəd əlavə etmək lazım olduğunda, yaxınlaşma məsələsi qaldırılır. Bu fenomeni anlamaq üçün klassik bir nümunə nəzər salaq. Hər bir sonrakı addım yarım əvvəlki bir vəziyyətdə olarsa divarlara çata bilirsinizmi? Qəsdən iki metr olduğunuzu düşünün, ilk addım sizi yarıdan, növbəti isə üç dörddəbilənə, beşinci hissədən isə demək olar ki, 97 faizi aşacaq. Bununla yanaşı, nə qədər addım atarsan da, qəti bir riyazi mənada nəzərdə tutulan məqsədə nail olmayacaqsınız. Sayısal hesablamalar istifadə edərək, sonda müəyyən bir xarakterik olaraq kiçik bir məsafəyə yaxınlaşmaq mümkündür. Bu sübut bir saniyənin, dördüncü və s. Ümumi dəyərinin birliyə meyl göstərəcəyini nümayiş etdirir.

Qonşuluq məsələsi: ikinci gəlir, və ya Lord Kelvin Cihazı

Təkrarlanan bu sual XIX əsrin sonlarında, Fourier seriyası tides və dalğaların intensivliyini proqnozlaşdırmaq üçün istifadə edildiyi zaman qaldırılmışdır. Bu vaxt Lord Kelvin, bu təbii fenomeni izləmək üçün əsgər və tacir filosunun dənizçilərinə icazə verən bir analog hesablama cihazı olan bir cihaz icad etdi. Bu mexanizm, il boyunca dalğaların və amplitudların təyinatını təyin etdi və il ərzində limanda diqqətlə ölçülmüş müvafiq vaxt nöqtələrini təyin etdi. Hər bir parametr gelgitin hündürlüyünün ifadəsinin bir sinusoidal komponenti idi və müntəzəm tərkib hissələrindən biri idi. Ölçmələrin nəticələri, gələcək il üçün müvəqqəti funksiya kimi su hündürlüyünü nəzərdə tutan bir əyri sintez edən bir Kelvin hesablama cihazına daxil edilmişdir. Çox tezliklə dünyanın hər bir limanına bu tip əyrilar tərtib edilmişdir.

Və proses kəsilməz bir funksiya ilə pozulursa?

O dövrdə çox sayda hesablama elementləri olan bir gelgit dalğasını öngörən bir çox faza və amplitüdlərin hesablanması və daha dəqiq proqnozlar verə biləcəyi aydın görünürdü. Buna baxmayaraq, sintez edilməli olan gelgit ifadəsinin kəskin bir sıçrayış, yəni, bu, fasiləsiz idi, hallarda bu müntəzəmlik müşahidə olunmur. Cihazın zaman anlarında cədvəllərdən məlumat alması vəziyyətində, bir neçə Fourier əmsalını hesablayır. Orijinal funksiya sinusoidal komponentlər (bərabər əmsallara uyğun olaraq) ilə bərpa olunur. Orijinal və bərpa edilmiş ifadəsi arasındakı uyğunsuzluq hər hansı bir anda ölçüle bilər. Təkrarlanan hesablamalar və müqayisə apararkən, ən böyük səhvlərin dəyərinin azaldılmaması aydındır. Ancaq onlar bölgədəki təkməzlik nöqtəsinə uyğun olaraq lokallaşdırılmışlar və hər hansı bir nöqtədə sıfıra meyl edirlər. 1899-cu ildə bu nəticə Yale Universitetinin Joshua Willard Gibbs tərəfindən təsdiqlənmişdir.

Fourier seriyası və ümumi riyaziyyatın inkişafı

Fourier təhlili müəyyən bir aralıqda sonsuz sayda bursts ehtiva edən ifadələrə tətbiq edilə bilməz. Ümumiyyətlə, Fourier seriyası, orijinal funksiyanı gerçək fiziki ölçülü bir nəticə ilə təmsil edərsə həmişə birləşir. Bu prosesin funksiyaların müəyyən sinifləri üçün yaxınlaşması məsələləri riyaziyyatın yeni hissələrinin, məsələn, ümumi funksiyalar nəzəriyyəsinin görünüşünə gətirib çıxardı. L. Schwartz, J. Mikusinsky və J. Temple kimi adlarla əlaqələndirilir. Bu nəzəriyyə çərçivəsində, Dirac deltası funksiyası (bir nöqtənin infinitesimal məhəllələrində cəmlənmiş bir sahənin sahəsini təsvir edir) və Heaviside nin "addım" kimi ifadələr üçün aydın və dəqiq bir nəzəri çərçivə yaradılmışdır. Bu iş sayəsində Fourier seriyası intuitiv konsepsiyaların göründüyü tənliklər və problemlərin həlli üçün tətbiq olundu: nöqtə yükü, nöqtə kütləsi, maqnit dipolları və həmçinin şüa üzərində konsentrasiya yükü.

Fourier metodu

Fourier seriyası, müdaxilə prinsiplərinə uyğun olaraq, mürəkkəb formaların daha sadə olanlara ayrılması ilə başlanır. Məsələn, istilik axınındakı dəyişiklik qeyri-bərabər forma istilik izolyasiya edən maddələrdən və ya yerin səthini dəyişdirərək, göy orqanının orbitində dəyişiklik edərək, planetlərin təsiri ilə müxtəlif maneələrdən keçir. Bir qayda olaraq, sadə klassik sistemləri təsvir edən oxşar tənliklər hər fərdi dalğa üçün əsasən həll olunur. Fourier sadə həllərin də daha mürəkkəb problemləri həll etmək üçün yekunlaşdırıla biləcəyini göstərdi. Riyaziyyat dilində ifadə edilən Fourier seriyası, harmoniklərin - kosinüs və sinusoidin ümumi ifadəsi ilə ifadə etmək üçün bir üsuldur. Buna görə də bu analiz "harmonik analiz" kimi tanınır.

Fourier seriyası "kompüter yaşı"

Kompüter texnologiyasını yaratmadan əvvəl, Fourier üsulu dünyanın dalğa təbiəti ilə işləyərkən alimlərin arsenalında ən yaxşı silah idi. Kompleks şəkildə Fourier seriyası bizə Newton mexanikasının qanunlarının birbaşa tətbiqi üçün uyğun olan sadə problemləri deyil, eyni zamanda fundamental tənlikləri də həll etməyə imkan verir. XIX əsrin Newton elminin kəşfləri yalnız Fourier üsulu sayəsində mümkün oldu.

Fourier seriyası bu gün

Kompüterlərin inkişafı ilə Fourier transformasiyası keyfiyyətcə yeni səviyyəyə qalxdı. Bu texnika elm və texnologiyanın demək olar ki, bütün sahələrində möhkəm şəkildə qurulmuşdur. Məsələn bir rəqəmsal audio və video siqnaldır. Onun həyata keçirilməsi yalnız XIX əsrin əvvəllərində Fransız riyaziyyatçı tərəfindən hazırlanmış nəzəriyyənin sayəsində mümkün olmuşdur. Beləliklə, Fourier seriyası mürəkkəb formada xarici kosmosun tədqiqatında irəliləyişə nail olmuşdur. Bundan əlavə, bu yarımkeçirici materialların və plazma, mikrodalğalı akustika, okeanoqrafiya, radar, seysmologiya fizikası işinə təsir göstərmişdir.

Trigonometrik Fourier seriyası

Riyaziyyatda, Fourier seriyası, sadə olanların bir hissəsi kimi özbaşına kompleks funksiyaları təmsil etmək üçün bir vasitədir. Ümumiyyətlə, bu ifadələrin sayı sonsuz ola bilər. Bu vəziyyətdə, hesablamada onların sayı daha çox nəzərə alınırsa, son nəticəni dəqiqləşdirir. Ən çox tironometrik kosin və ya sinus funksiyaları ən sadə olanlar kimi istifadə olunur. Bu vəziyyətdə Fourier seriyası trigonometrik adlanır və bu ifadələrin həlli harmonik genişlənməsidir. Bu metod riyaziyyatda mühüm rol oynayır. Hər şeydən əvvəl, trigonometrik seriya təsvirə aid vasitələrin yanında funksiyaların öyrənilməsini təmin edir, bu nəzəriyyənin əsas aparatıdır. Bundan əlavə, bu, riyazi fizikanın bir sıra problemlərini həll etməyə imkan verir. Nəhayət, bu nəzəriyyə riyazi elmin inkişafına kömək etdi, riyazi elmin bir çox mühüm hissələrinə (inteqralların nəzəriyyəsi, dövri funksiyalar nəzəriyyəsi) bir sıra həyat gətirdi. Bundan əlavə, aşağıdakı nəzəriyyələrin inkişafı üçün bir başlanğıc nöqtəsi kimi fəaliyyət göstərmişdir: real dəyişən funksiyalar , funksional analizlər, harmonik analizlər.