Boolean cəbr. Mantiq cəbri. Riyazi məntiqin elementləri

Müasir dünyada biz getdikcə müxtəlif maşın və gadget'ları istifadə edirik. Yalnız bir sözündən qeyri-insani qüvvəni tətbiq etmək lazım deyil: yükü hərəkət etdirin, uzunluğa və dərin xəndəyin qazandığını və s. Bu gün robotlar toplamaq, multivarqua tərəfindən hazırlanan yeməklər və kalkulyatorlar hesablayırlar. Artıq, "Boolean cəbr" ifadəsini eşidirik. Bəlkə də, robotların yaradılması və maşınların riyazi deyil, mantıksal tapşırıqları həll etməsində insan rolunu anlamaq üçün vaxt gəldi .

Məntiq

Yunan dilindən tərcümə olunan mantık, müəyyən şərtlər arasında əlaqələr yaradan və fərziyyələrə və fərziyyələrə əsaslanan nəticələr verməyə imkan verən sifarişli bir sistemdir. Çox tez-tez bir-birimizdən soruşuruq: "Mantıksız mı?" Cavab bizim fərziyyələrimizə cavab verir və ya düşüncə tərzini tənqid edir. Amma proses dayandırılmır: biz düşünməyə davam edirik.

Bəzən şərtlərin sayı (giriş) çox böyükdür və aralarındakı qarşılıqlı əlaqələr insan beyninin bir anda hər şeyi "sindirməyə" getməməsi çox mürəkkəb və mürəkkəbdir. Nə baş verdiyini anlamaq üçün bir aydan (bir həftə, bir il) çox vaxt tələb oluna bilər. Amma müasir həyat bizə qərar vermə üçün vaxt intervalı vermir. Və biz kompüterlərin köməyinə müraciət edirik. Və mantığın cəbrinin öz qanunları və xüsusiyyətləri ilə budur. Bütün ilkin məlumatları endirdikdən sonra, biz kompüterin bütün əlaqələri tanımasını, ziddiyyətləri aradan qaldırmasını və qənaətbəxş bir həll tapmasını təmin edirik.

Riyaziyyat və Məntiq

Ən məşhur Gottfried Wilhelm Leibniz vəzifələri yalnız dar bir dairə alimləri üçün əlçatan olan "riyazi məntiq" konsepsiyasını tərtib etmişdir. Bu istiqamətdə xüsusi maraq yaranmadı və XIX əsrin ortalarına qədər bir çoxları riyazi məntiq haqqında bilirdilər.

Elmi ictimaiyyətə böyük maraq ingilis dilli britaniyalı Bühlin riyaziyyatın bir hissəsini yaratmaq niyyətini açıqladığı bir mübahisə ilə ortaya çıxdı. Tarixdən xatırladığımız kimi, o zaman sənaye istehsalı fəal inkişaf etmiş, hər cür köməkçi maşın və maşın inkişaf etdirilmişdir, yəni bütün elmi kəşflər praktik yönümlü idi.

Önümüzə nəzər salsaq, Boole cədvəsi müasir dünyada riyaziyyatın ən çox istifadə olunan hissəsidir. Beləliklə, mübahisə onun Boule itirdi.

George Boule

Müəllifin çox şəxsiyyəti xüsusi diqqətə layiqdir. Hətta keçmişdə yaşadığımız insanların bizdən daha böyüdüyünü nəzərə alsaq da, 16 yaşındaykən, G.Boole kənd məktəbində tədris etdiyini və 20 yaşına qədər Lincoln-da öz məktəbini açdığını qeyd edə bilmirik. Riyaziyyatçı beş xarici dili mükəmməl bildi və boş zamanlarında Newton və Lagrange'in işlərini oxudu. Bütün bunlar sadə işçinin oğlu haqqında!

1839-cu ildə Boule ilk olaraq Cambridge Riyaziyyat Jurnalına elmi məqalələrini göndərdi. Alim 24 yaşındaydı. Boole işi 1844-cü ildə Riyazi elmi cəmiyyətin üzvləri ilə maraqlandığından, matematik analizinin inkişafına verdiyi töhfəyə görə medal qazandı . Riyaziyyat məntiqinin elementləri təsvir olunan digər bir neçə nəşr əsəri gənc riyaziyyatçıya Cork County College-da professor vəzifəsinə keçməyə imkan verdi. Xatırladaq ki, çox Boole təhsili yox idi.

Fikir

Prinsipcə, Boolean cəbr çox sadədir. Riyaziyyat baxımından yalnız iki sözlə müəyyən edilə bilən ifadələr (məntiqi ifadələr) var: "həqiqət" və ya "yalan". Məsələn, yazda ağaclar çiçəklənir - həqiqət, yazda qoruyur - yalan. Bu riyaziyyatın bütün cazibəsidir ki, yalnız nömrələri istifadə etmək üçün ciddi ehtiyac yoxdur. Birmənalı mənası olan istənilən təkliflər təkliflərin cəldliyi üçün idealdır.

Beləliklə, lojik cəbr hər yerdə tam şəkildə istifadə oluna bilər: planlaşdırma və yazma qaydalarına, hadisələr barədə ziddiyyətli məlumatların təhlilinə və hərəkətlərin ardıcıllığının müəyyən edilməsinə. Ən əhəmiyyətli olan bir ifadənin həqiqət və ya yanlışlığını necə təyin etdiyimiz əhəmiyyətli olmadığını anlamaqdır. Bu "necə" və "niyə" mübahisədən çəkilməlidir. Münasibət yalnız bir həqiqətdir: əsl səhvdir.

Əlbəttə, mantığın cəbrinin funksiyaları müvafiq əlamətlər və simvollarla yazılmış proqramlaşdırma üçün vacibdir. Və onları öyrənmək yeni bir xarici dil öyrənmək deməkdir. Heç bir şey mümkün deyil.

Əsas anlayışlar və anlayışlar

Dərinliklərə girmədən, terminologiyanı anlayacağıq. Beləliklə, Boolean cəbr də aşağıdakıları ehtiva edir:

• Şərhlər;
• Mantıksal əməliyyatlar;
• Funksiyalar və qanunlar.

Bəyanatlar ikitərəfli dəyərləndirilə bilməyən hər hansı müsbət ifadələrdir. Onlar ədədlər şəklində yazılır (5> 3) və ya adi sözlərlə (fil ən böyük məməlilərdir) tərtib edilir. Eyni zamanda, "zürafənin boyuna malik olmadığı" ifadəsi də varlıq hüququna malikdir, yalnız Boolean cəbr onu "yalan" kimi təsvir edəcəkdir.

Bütün ifadələr birmənalı olmalıdır, amma onlar ibtidai və kompozisiya ola bilərlər. Sonuncu mantıksal bağları istifadə edir. Yəni, önəmli cəbri birləşmələrində mantıksal əməliyyatlar vasitəsilə elementar elementləri əlavə etməklə formalaşdırılır.

Boole cəbrinin əməliyyatları

Biz artıq xatırlayırıq ki, təkliflərin cəbrində əməliyyatlar mantiqlıdır. Rəqəmlərin cəbrinin sayı əlavə etmək, çıxarmaq və müqayisə etmək üçün aritmetik əməliyyatlardan istifadə etdiyi kimi, riyazi məntiqin elementləri kompleks ifadələr yaratmaq, mənfi nəticə vermək və ya yekun nəticəni hesablamaq imkanı verir.

Formallaşma və sadəlik üçün məntiqi əməliyyatlar arifmetikdə bizim üçün adi olan formulalar tərəfindən yazılır. Boolean cəbr xüsusiyyətləri tənliklər yazmaq və bilinməyənləri hesablamaq imkanı verir. Mantıksal əməliyyatlar adətən həqiqət masası ilə yazılır. Onun sütunları hesablama elementlərini və onlara tətbiq olunan əməliyyatı müəyyənləşdirir və xətlər hesabların nəticəsini göstərir.

Əsas məntiqli hərəkətlər

Boole cədvəlində ən çox görülən əməliyyatlar (QEYD) və mantıksal və və ya OR olur. Beləliklə, hökmlərin cəbrində demək olar ki, bütün hərəkətləri təsvir edə bilərsiniz. Üç əməliyyatdan hər birini ətraflı öyrənəcəyik.

Negasiya (yalnız) bir elementə aiddir (operand). Buna görə də inkar əməliyyatı unary deyilir. "A deyil" anlayışını yazmaq üçün belə simvolları istifadə edin: ¬A, A¯¯ ya da! A. Nişan şəklində belə görünür:

Negation funksiyası üçün aşağıdakı bəyanat tipikdir: A doğruysa, A yalanandır. Məsələn, Ay Yer ətrafında dönər - həqiqət; Yer ayın ətrafında dönər - yalan.

Mantıksal vurma və əlavə etmə

Bir mantıksal və birləşmə əməliyyatı deyilir. Bu nə deməkdir? Birincisi, bu iki operanda tətbiq oluna bilər, yəni mən ikili əməliyyatdır. İkincisi, hər iki əməliyyatın (və A və B) həqiqətlərinin olması halında ifadənin özü də doğrudur. "Səbir və iş gözdən keçirəcək" sözü, yalnız iki faktorun çətinliklərlə üzləşdiyi bir insana kömək edəcəyini düşünür.

Sembollər qeyd etmək üçün istifadə olunur: A + B, AÖB və ya A && B

Birləşmə aritmetikdə vurma ilə müqayisədə oxşardır. Bəzən belə düşünürlər - mantıksal vurma. Cədvəl elementlərini satırla çarparaq, məntiqi düşünməyə bənzər bir nəticə əldə edirik.

Ayrılıq məntiqi və ya əməliyyat deyilir. Bəyanatlardan ən azı biri doğrudur (və ya A və ya B) həqiqət dəyərini alır. Bu kimi yazılmışdır: A BY, A + B və ya A || B. Bu əməliyyatlar üçün həqiqət masaları:

Ayrılma bir aritmetik əlavə kimi. Məntiqi əlavə əməliyyatında yalnız bir məhdudiyyət var: 1 + 1 = 1. Amma biz rəqəmsal formatda riyazi məntiqin 0 və 1 ilə məhdud olduğunu xatırlayırıq (burada 1 doğru, 0 isə yalan). Məsələn, "Muzeydə bir əsər görürsən ya da maraqlı bir mübahisəçi görüşə" ifadəsi sənət əsərlərini görə bilərik və maraqlı bir insana tanış olursunuz. Eyni zamanda, hər iki hadisənin eyni vaxtda tamamlanması mümkün deyildir.

Funksiyalar və qanunlar

Beləliklə, artıq Boolean cəbrinin hansı məntiqi əməliyyatlardan istifadə etdiyini bilirik. Funksiyalar riyazi məntiq elementlərinin bütün xüsusiyyətlərini təsvir edir və kompleks tərkibli vəzifələrin şərtlərini asanlaşdırmağa imkan verir. Ən aydın və sadə, törəmə əməliyyatlardan imtina mülkiyyətidir. Törəmə məhsullar eksklüziv VƏ, ziddiyyət və ekvivalentdir. Biz yalnız əsas əməliyyatlarla tanış olduğumuzdan, onların xüsusiyyətlərini yalnız nəzərdən keçirəcəyik.

Associativity deməkdir ki, "və A, B və B" kimi ifadələrdə operandların sayılması vacib deyil. Formula bu:

(A + B) ∧ B = Afon (Bwise) = A +

(A BYB) ∨B = AİB (BBV) = A BYBBBB.

Gördüyümüz kimi, bu, yalnız birləşmələrə deyil, eyni zamanda disjunksiyalara da aiddir.

Commutativity birləşmə və ya birləşmənin nəticəsi hansı elementin əvvəlində nəzərdən keçirildiyinə bağlı olmadığını bildirir:

AonlarБ = БпыA; AiformB = B ciA.

Distribütivlik siz mürəkkəb məntiqli ifadələrdə parantezlər açmağa imkan verir. Qaydalar cəbrə çarparaq və əlavə edərkən parantezlərin açıqlanmasına bənzərdir:

Afon (Б∨В) = AitherБpiteAwise; A∨BwiseB = (AiformB) ∧ (A BYB).

Bir vahidin xüsusiyyətləri və əmrlərdən biri ola bilən bir sıfır, sıfır və ya bir cəbri çarpma ilə eyni və birinə əlavə olunur:

A ← = 0, A = 1 = A; Aцип0 = A, A = 1 = 1.

İdempotensiya bizə deyir ki, əgər əməliyyatın nəticəsi iki bərabər operandla müqayisə olsaydı, onda siz düşünmənin gedişini çətinləşdirən əlavə əməliyyatları "atsın". Həm birləşmə, həm də ayrışma idempotent əməliyyatlarıdır.

БББ = B; БББ = Б.

Absorbsiya da tənliklərin sadələşdirilməsinə imkan verir. Absorbsiya deyir ki, eyni operandla bir əməliyyat bir operandla bir ifadəyə tətbiq edildikdə, nəticə əmələ gələn əməliyyatdan əmələ gəlir.

AmizBiformB = B; (A èB) ∧B = B.

Əməliyyatlar sırası

Əməliyyatlar sırası kiçik əhəmiyyət daşımır. Əslində, cəbr üçün olduğu kimi Boole cədvəlini istifadə edən funksiyaların prioritetləri də var. Formulalar əməliyyatların əhəmiyyəti müşahidə olunduqda yalnız sadələşdirilə bilər. Ən əhəmiyyətli olanlardan kiçiklərə sıralanırıq, aşağıdakı ardıcıllığı alırıq:

1. imtina.

2. Birləşmə.

3. OR istisna olmaqla ayrılma.

4. Təsir, ekvivalentlik.

Gördüyümüz kimi, təkzib və birləşmələrin bərabər prioritetləri yoxdur. Ayrılığı və eksklyuziv VÖ-nin üstünlüyü bərabərdir, eyni zamanda, təsir və ekvivalentliyin prioritetləri.

Təsiri və ekvivalentlik funksiyaları

Artıq dediyimiz kimi, əsas mantıksal əməliyyatlara əlavə olaraq, riyazi məntiq və alqoritm nəzəriyyəsi törəmələri istifadə edir. Ən çox istifadə edilən və təsirli olan eşitlik.

Təsiri, yaxud mantıksal bağlılıq, bir hərəkətin şərtdir və birinin yerinə yetirilməsinin nəticəsidir. Başqa sözlə, bu cəzanı "əgər ... sonra" bəhanələri ilə. "Siz gəzmək, sevmək və daşımaq üçün kasıb olmaq istəyirəm." Yəni, skeytbord üçün slaydları sürüşməyə sıxmaq lazımdır. Dağı tərk etmək arzusu yoxdursa, o zaman sledd daşımaq olmaz. Bu kimi yazılmışdır: A → B və ya A ⇒B.

Ekvivalentlik nəticəsində meydana gələn fəaliyyət yalnız hər iki əmr həqiqət olduqda meydana gəlir. Məsələn, gecə günəş (və sonra yalnız), günəş ufukdan qalxdıqda əvəz olunur. Riyazi məntiq dilində bu ifadə aşağıdakı kimi yazılır: A b, A, B, A == B.

Boole cədvəlinin digər qanunları

Yargı algebası inkişaf edir və bir çox maraqlı alimlər yeni qanunlar hazırlamışlar. Ən məşhur, Şotlandiya matematikçisi O. de Morganın postulatlarıdır. O, belə xüsusiyyətləri yaxın zəiflik, əlavə və ikiqat zəiflik kimi fərqləndirdi və müəyyən etdi.

Yaxın bir inkarçılıq bracket qarşısında tək təkamül olmadığını göstərir: (A və ya B) = A və ya B deyil.

Əsər dəyərindən asılı olmayaraq, işdən imtina edildikdə, əlavə olaraq deyirlər:

B¬Б = 0; B`я = 1.

Və nəhayət, ikiqat zəiflik özünü kompensasiya edir. Yəni. Əməliyyatdan əvvəl, ya yoxlama yox, ya da yalnız bir qalır.

Testləri necə həll etmək olar?

Riyazi məntiq bu tənliklərin sadələşdirilməsini nəzərdə tutur. Cəbri kimi olduğu kimi əvvəlcə vəziyyəti mümkün qədər asanlaşdırmaq lazımdır (mürəkkəb giriş və əməliyyatlardan qurtulmaq) və doğru cavabı tapmağa davam edin.

Sadələşdirmə üçün nə edilə bilər? Bütün alınmış əməliyyatları sadə olanlara çevirmək. Sonra bütün parantezləri (və ya əksinə, bu elementi qısaltmaq üçün parantezlər göstərin) açın. Sonrakı addım praktikada Boole cədvəlinin xüsusiyyətlərini tətbiq etməkdir (absorbsiya, sıfır və birləşmələrin xüsusiyyətləri və s.).

Nəticədə, tənlik sadə əməliyyatlarla birləşdirilmiş ən az bilinməyən saydan ibarət olmalıdır. Çox sayda yaxın ziddiyyətlərə nail olursanız, bir həll axtarmaq asan deyil. Sonra cavab özü kimi açılır.