Real ədədlər və onların xüsusiyyətləri

Pifaqoralar bu rəqəmin əsas elementlərlə paralel olaraq dünyanın əsas yerində olduğunu iddia etmişlər. Platon hesab edir ki, bu rəqəm fenomen və noumenonu birləşdirir, nəticəni bilmək, ölçmək və nəticələr əldə etmək üçün kömək edir. Aritmetik "arithmos" sözündən gəlir - ədədi, başlanğıcı riyaziyyatdan başlayır. Nim hər hansı bir obyekti təsvir edə bilər - bir ibtidai elmdən mücərrəd boşluqlara qədər.

İnkişafın bir faktorudur

Cəmiyyətin formalaşmasının başlanğıc mərhələlərində insanlar ehtiyaclarını məhdudlaşdırdılar - bir torba taxta, iki taxta taxta və s. Bunları etmək üçün, ədədlərin sayının tam ədədi olan sonsuz müsbət bir sıra olması kifayət idi.

Daha sonra riyaziyyatın elm kimi inkişafı ilə Z tam ədədinə ehtiyac yaranmışdı - bu mənfi miqdarları və sıfırdan ibarətdir. Ev səviyyəsində onun görünüşü əsas hesab şöbəsində borcları və itkiləri müəyyənləşdirmək zərurəti yarandığından dalbadal idi. Elmi səviyyədə, mənfi ədədlər ən sadə xətti tənlikləri həll etməyə imkan verdi . Digər məsələlərlə yanaşı, bir başlanğıc nöqtəsi ortaya çıxdığından, artıq bir qeyri-adi koordinat sistemi göstərmək mümkün oldu.

Sonrakı addım fasil nömrə daxil etmək lazım idi, çünki elm hələ də qalmırdı, daha çox yeni kəşflər böyümənin yeni təkan üçün nəzəri əsas tələb etdi. Beləliklə, rasional nömrələr Q.

Nəhayət, rasionallıq istəkləri yerinə yetirməkdən imtina etdi, çünki bütün yeni nəticələr əsaslandırılması tələb etdi. Real ədədlərin R sahəsi, Euclidin əsərlərinin qeyri-səmərəliliyinə görə müəyyən miqdarda qeyri-incəliklər üzərində işləyir. Yəni, qədim yunan riyaziyyatçıları bu sayını təkcə sabit deyil, həm də qeyri-qiymətli miqdarların nisbəti ilə xarakterizə olan mücərrəd dəyər kimi yerləşdirmişdir. Gerçək ədədlərin ortaya çıxması səbəbindən, "pi" və "e" kimi "dəyərlər" "müasir riyaziyyatın olmadığı" olmadan "işıq gördü".

Son yenilik mürəkkəb sayıdır . Bir sıra suallara cavab verib və əvvəlcədən təqdim edilən postulatlardan bəhs etdi. Cəbrin sürətlə inkişafı nəticəsində nəticənin proqnozlaşdırıla biləcəyi - real ədəd, bir çox problemin həlli mümkün deyildir. Məsələn, kompleks nömrələr, simli və xaos nəzəriyyələri sayəsində, hidrodinamiklərin bərabərliyi genişlənmişdir.

Setlərin nəzəriyyəsi. Cantor

Sonsuzluq anlayışı hər zaman mübahisəsizdir, çünki nə sübuta, nə də inkar edilə bilməz. Mütləq təsdiqlənmiş postulatlarla işləyən riyaziyyat kontekstində, xüsusilə də, ilahi aspekt hələ də elmdə bir ağırlıq olduğundan, ən aydın şəkildə özünü göstərdi.

Lakin riyaziyyatçı Georg Cantorun işi sayəsində hər şey vaxt keçdikcə yerə düşdü. O, sonsuz dəstlərin sonsuz bir dəstə olduğunu və R sahəsində N-dən daha böyük olduğunu sübut etdi, hər ikisi də sonu olmadı. XIX əsrin ortalarından etibarən, onun fikirləri yüksək səslə klassik, sarsılmaz kanonlara qarşı deliryum və cinayət adlandırılmışdır, lakin vaxt hər şeyi öz yerinə qoymuşdur.

R sahəsində əsas xüsusiyyətləri

Real ədədlər sadəcə onların tərkibində olan sub-missiyaları ilə eyni xüsusiyyətlərə malik deyil, eyni zamanda onların elementlərinin çəkisi ilə əlaqədar digərləri tərəfindən də əlavə olunur:

• Sıfır mövcuddur və R. c + 0 = c sahəsinə aiddir.
• Bir sıfır var və R. c x 0 = 0 hər hansı bir c R üçün aiddir.
• D = 0 üçün c = d nisbəti mövcuddur və hər hansı c, d üçün R olduqda.
• Sahə R əmr edilir, yəni əgər c ≤ d, d ≤ c, sonra c = d hər hansı bir c, d üçün R.
• R sahəsində əlavə komutativ, yəni c + d = d + c hər hansı c, d üçün R.
• R sahəsindəki çarpma komutativdir, yəni cx d = dx c hər c, d üçün R.
• R sahəsindəki əlavə birləşməsidir, yəni c (d + f) + f = c + (d + f) hər c, d, f üçün R.
• R sahəsindəki çarpma asılıdır, yəni hər c, d, f üçün R (R x) c (x x) x f = c x (d x f)
• R sahəsində olan hər bir nöqtə üçün bir əks var, belə ki, c + (-c) = 0, burada c, -c-dən R.
• R sahəsində olan hər bir ədəd üçün c x c ^-1 = 1, burada c, c ^-1 , R.
• Bir ədəd mövcuddur və R-yə aiddir, belə ki, c x 1 = c, R-də hər c üçün.
• Distribütörlük hüququ saxlanılır, belə ki, hər c, d, f üçün RX-də c x (d + f) = c x d + c x f.
• R sahəsində, sıfır birinə bərabər deyil.
• R sahəsi keçid edir: əgər c ≤ d, d ≤ f, onda c ≤ f hər c, d, f üçün R.
• R sahəsindəki sifariş və əlavə bir-birinə bağlıdır: əgər c ≤ d, sonra c + f ≤ d + f hər c, d, f üçün R.
• R sahəsində əmr və çarpma bir-biri ilə əlaqələndirilir: əgər 0 ≤ c, 0 ≤ d, sonra 0 ≤ c xd hər hansı c, d-dən R.
• Həm mənfi, həm də müsbət olan real rəqəmlər davamlıdır, yəni R-də hər hansı bir c, d üçün R f bir f olduğu üçün c ≤ f ≤ d.

R sahəsində olan modul

Real nömrələr bir modul kimi bir şeyə daxildir. Bu f | R. | f | -da hər hansı bir f üçün = F, əgər 0 ≤ f və | f | = -f əgər 0> f. Modulları həndəsi bir dəyər hesab edərsə, bu, səyahət edilən məsafəni təmsil edir - mənfi olaraq ya da əlavə olaraq sıfıra "keçib" keçməyiniz əhəmiyyətli deyil.

Kompleks və real nömrələr. Ümumi nədir və fərqlər nədir?

Böyük və mürəkkəb və real rəqəmlər bir-birinə bərabərdir, buna görə kvadrat -1 olan xəyali vahid i birincidir. R və C sahələrinin elementləri aşağıdakı formada təmsil edilə bilər:

• C = d + f x i, burada d, f R sahəsinə aiddir və i xəyali vahiddir.

Bu halda R'den c almaq üçün f sadə olaraq sıfıra bərabər sayılır, yəni sayının yalnız gerçək hissəsi qalır. Kompleks nömrələrin sahəsi real rəqəmlər sahəsi kimi eyni xüsusiyyətlərə malik olduğundan, f x i = 0, f = 0 olarsa.

Praktik fərqliliklərə gəldikdə, məsələn, R sahəsindəki kvadratik tənlik diskriminant mənfi olduqda həll olunmazsa, C sahəsindəki xəyali birliyin tətbiqi ilə əlaqədar belə bir məhdudiyyət qoymur.

Nəticələr

Riyaziyyatın dayandığı aksiyalar və postulatlardakı "kərpiclər" dəyişməz. Bəzi məlumatların artması və yeni nəzəriyyələrin tətbiqi ilə əlaqədar gələcəkdə növbəti addım üçün əsas ola biləcək aşağıdakı "kərpiclər" qoyulur. Məsələn, təbii ədədlər R real sahəsinin bir hissəsi olmasına baxmayaraq, onların əhəmiyyətini itirmirlər. Onların hamısında ki, bütün elementar arifmetik əsas götürülür ki, onunla dünyanın insanın idrakı başlayır.

Praktiki baxımdan real ədəd düz bir xətt kimi görünür. Onda istiqaməti seçə bilərsiniz, mənşəyi və addımı göstərə bilərsiniz. Xətt sonsuz sayda nöqtədən ibarətdir, hər biri bir nömrəli və real nöqtəyə uyğun gəlir. Təsvirdən aydın olur ki, biz ümumi olaraq riyaziyyatın və xüsusilə riyazi analizin qurulmasına dair bir konsepsiyadan danışırıq.